페르마의 원리

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1. 개요
2. 역사
3. 유도
4. 현대적 형태
- 4.1. 굴절률을 이용한 표현
- 4.2. 해밀턴의 원리와의 관계
5. 특수한 경우
- 5.1. 등방성 매질
- 5.2. 균질 매질
참조

1. 개요

페르마의 원리는 빛이 이동하는 경로는 빛의 속도가 가장 짧은 '시간'의 경로를 따른다는 원리이다. 알렉산드리아의 헤론은 빛의 진행 경로가 최단 거리를 따른다고 생각했지만, 굴절 현상을 설명하지 못했다. 17세기에 페르마는 최소 시간의 원리를 제안하여 굴절 현상을 성공적으로 설명했고, 이는 기하광학 법칙들을 하나의 변분 원리로 통합하는 획기적인 업적이었다. 이 원리는 빛의 파동설과도 연결되며, 현대적인 형태는 광학적 경로 길이의 변화가 0이 되는 조건으로 표현된다. 페르마의 원리는 고전 역학의 해밀턴의 원리와 유사하며, 등방성 매질에서는 빛이 파면에 수직으로 진행하고, 균질 매질에서는 직진한다.

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페르마의 원리
기본 정보
이름	페르마의 원리
분야	광학
발견자	피에르 드 페르마
발견 시기	1662년
관련 개념	최단 시간의 원리 최소 작용의 원리 빛의 굴절 광학
상세 내용
내용	빛은 두 지점 사이를 이동할 때, 시간이 최소가 되는 경로를 따른다.
설명	빛이 한 매질에서 다른 매질로 이동할 때 굴절되는 현상을 설명하는 데 사용된다.
다른 이름	최소 시간의 원리
응용
광학 설계	렌즈 및 기타 광학 장치의 설계를 최적화하는 데 사용된다.
설명	빛의 경로를 정확하게 예측하여 광학 시스템의 성능을 향상시킨다.
수학적 표현
설명	빛이 점 P에서 점 P'으로 이동하는 데 걸리는 시간 T는 경로에 따라 달라진다. 페르마의 원리는 T의 변동이 0이 되는 경로가 실제 빛의 경로임을 의미한다.
수식	δT = 0
역사적 맥락
페르마의 원래 의도	빛의 속도가 매질에 따라 변한다는 것을 증명하려 했다.
현대적 해석	빛은 모든 가능한 경로를 탐색하고, 가장 빠른 경로를 선택한다.
참고 자료
관련 서적	광학 관련 교재 및 논문
추가 정보	최소 작용의 원리와 밀접한 관련이 있다.

2. 역사

알렉산드리아의 헤론은 빛이 최단 거리를 따른다고 보았으나, 이는 굴절 현상을 설명하지 못했다. 17세기 페르마는 '최소 시간의 원리'를 제시하여 굴절 현상을 설명하였다.

2. 1. 고대 및 중세

알렉산드리아의 헤론은 빛이 항상 일정한 속도로 진행될 때 최단 거리를 따른다고 생각했다. 이는 반사 현상은 설명할 수 있지만 굴절 현상은 설명하지 못했다.^[36] 11세기 이븐 알하이삼은 이 원리를 굴절에 확장하여 페르마의 원리의 초기 형태를 제시하였다.^[37]^[38]^[39]

2. 2. 17세기: 페르마의 원리

피에르 드 페르마는 1657년에 마랭 퀴로 드 라 샹브르로부터 알렉산드리아의 헤론의 원리가 굴절에는 적용되지 않는다는 내용의 논문을 받았다.^[40] 페르마는 빛이 가장 작은 '저항'의 경로를 따른다고 가정하고, 1662년 1월 1일 라 샹브르에게 보낸 편지에서 빛이 가장 짧은 '시간'의 경로를 따른다는 '최소 시간의 원리'(페르마의 원리)를 제시했다.^[41]^[42] 이 원리는 빛이 광학적으로 더 조밀한 매질에서 더 느리게 이동한다는 조건 하에 일반적인 굴절 법칙을 유도해냈다.

페르마의 해결책은 당시 알려진 기하광학 법칙들을 하나의 ''변분 원리'' 또는 ''작용 원리'' 아래 통합한 획기적인 업적이었다.^[43] 그는 무한히 짧은 현의 기울기가 0인 지점을 찾는 ''적합성''이라는 방법을 사용했다.^[44]

하지만, 르네 데카르트의 지지자인 클로드 클레르셀리에는 페르마가 자연에 지식과 의도를 부여한 것처럼 보이며, 왜 자연이 거리보다 시간을 절약하는 것을 선호하는지 설명하지 못한다고 비판했다.^[45] 클레르셀리에는 자연이 "예측이나 선택 없이, 필연적인 결정에 의해 작용한다"고 주장하며, 페르마의 원리가 자연을 우유부단하게 만들 것이라고 지적했다.

페르마는 자신의 원리가 기계적으로 어떻게 동작하는지 알지 못했기 때문에, 순수한 기하학적이고 운동학적 명제로만 자신의 원리를 변호할 수 있었다. 로버트 훅이 처음 제안한 빛의 파동설^[46]은 이그나스-가스통 파르디^[47]와 크리스티안 하위헌스^[48]에 의해 개선되었지만, 이에 대한 인식은 느리게 확산되었다.

2. 3. 빛의 파동설과 페르마의 원리

1678년, 크리스티안 하위헌스는 빛의 움직임이 도달한 모든 지점이 구면파의 근원이 되며, 이러한 2차 파동들의 합이 그 이후 시점에서 파동의 형태를 결정한다고 제안했다.^[49] 하위헌스는 2차 파면의 포락선을 움직임의 "종결"이라고 반복적으로 언급했다.^[50] 즉, 나중 파면은 주어진 시간 내에 빛의 움직임이 도달할 수 있는 바깥 경계였고,^[51] 따라서 나중 파면의 각 지점에 도달할 수 있는 최소 시간이었다.^[51] 그러나 그는 최소 시간의 "방향"이 2차 광원에서 접선점으로 향하는 방향이라고는 주장하지 않았다. 대신 그는 주어진 초기 파면의 범위에 해당하는 공통 접선 면의 범위에서 광선 방향을 추론했다.^[52]

하위헌스는 광선이 파면에 수직인 경우에 대한 굴절의 법칙을 유도한 후,^[53] 이 법칙에 따라 굴절된 광선이 최소 시간의 경로를 취한다는 것을 기하학적으로 증명했다.^[54] 만약 그가 최소 시간의 원리가 그의 공통 접선 구성에서 바로 따른다는 것을 알았다면, 그는 이것이 필요하다고 생각하지 않았을 것이다. 그는 이 구성을 통해 보통 굴절 법칙뿐만 아니라 직진 전파 및 보통 반사 법칙(페르마의 원리에서 따른다는 것도 알려져 있음)과 이전에는 알려지지 않았던 비범상 굴절 법칙을 유도했는데, 마지막은 구형이 아닌 타원체인 2차 파면을 통해 이루어졌으며, 그 결과 광선은 일반적으로 파면에 대해 비스듬했다. 하위헌스는 자신의 구성이 페르마의 원리를 함축한다는 것을 알아채지 못한 것 같았고, 심지어 그 원리에 대한 예외를 발견했다고 생각한 것 같았다. 앨런 E. 샤피로가 인용한 원고 증거는 하위헌스가 최소 시간의 원리가 "광선이 파면에 수직이 아닌 이중 굴절에서" 유효하지 않다고 믿었다는 것을 확인시켜준다.^[55]^[56]

샤피로는 17세기와 18세기에 "하위헌스 원리"를 받아들인 세 명의 권위자, 즉 필립 드 라 히르, 드니 파팽, 그리고 고트프리트 빌헬름 라이프니츠가 기하 광학의 이전에 알려진 법칙과 같은 방식으로 "아이슬란드 수정"(방해석)의 비범상 굴절을 설명했기 때문에 그렇게 했다고 보고한다.^[57] 그러나 당분간 페르마의 원리에 해당하는 확장은 간과되었다.

2. 4. 19세기 이후: 현대적 이해

19세기 초, 피에르시몽 라플라스는 최소 작용의 원리를 이용하여 방해석의 특이한 굴절 현상을 설명하려 했으나, 토머스 영은 페르마의 원리가 휘호헌스 이론의 기초라고 반박했다.^[1] 오귀스탱 장 프레넬은 페르마의 원리를 다양하게 다루며, 광선이 최소 시간 또는 정지 시간의 경로임을 보였다.^[1] 헨드릭 로런츠는 휘호헌스의 구성으로부터 점대점 형태의 최소 시간 원리를 유도했지만, 에테르 개념에 의존하여 명확성이 부족했다.^[1] 1959년, 아드리아안 J. 드 비테는 변분법을 사용하여 휘호헌스의 구성과 페르마의 원리가 동등함을 증명했다.^[1]

3. 유도

페르마의 원리는 다음과 같은 충분 조건으로부터 유도될 수 있다.

# 전파 매질(진공 또는 어떤 물질, 균질하거나 등방성일 필요는 없음)을 통해 교란이 순차적으로 전파되며, 원격 작용은 없다.

# 전파 과정에서 중간 지점 P에서 주변 지점에 미치는 교란의 영향은 0이 아닌 각도로 퍼진다(마치 P가 광원인 것처럼). 따라서 어떤 지점 A에서 시작된 교란은 무한히 많은 경로를 통해 다른 지점 B에 도달하며, B는 A의 교란에 대한 무한히 많은 지연된 버전을 받는다.^[5]

# 이러한 지연된 교란 버전들은 특정 허용 오차 내에서 동기화되면 B에서 서로 강화될 것이다.

그러면 A에서 B까지의 다양한 전파 경로는 전파 시간이 상기 허용 오차 내에서 일치하면 서로 도움을 주거나, 보강 간섭을 일으킨다. 작은 허용 오차(극한의 경우)에서 경로 변화의 허용 범위는 경로의 전파 시간이 변화에 대해 정지 상태일 때 최대화된다. 즉, 경로의 변화가 전파 시간에 최대 2차 변화만을 일으킨다.

전파 시간의 정지 상태에 대한 가장 명확한 예는 (국소적 또는 전역적) 최솟값, 즉 페르마 원리의 "강한" 형태에서와 같이 최소 시간 경로이다. 그러나 이 조건은 논리에 필수적이지 않다.

정지 전파 시간 경로가 인접 경로의 최대 폭의 통로에 의해 강화된다는 것을 밝혔으므로, 이 강화가 직관적인 광선 개념과 어떻게 일치하는지 설명해야 한다. 그러나 설명의 간결성을 위해, 먼저 광선 경로를 정지 전파 시간 경로로 정의한다.

3. 1. 충분 조건

다음과 같이 가정한다.

# 전파 매질(진공 또는 어떤 물질, 반드시 균질하거나 등방성일 필요는 없음)을 통해 교란이 순차적으로 전파되며, 원격 작용은 없다.

# 전파 과정에서 중간 지점 P에서 주변 지점에 미치는 교란의 영향은 0이 아닌 각도로 퍼진다(마치 P가 광원인 것처럼). 따라서 어떤 지점 A에서 시작된 교란은 무한히 많은 경로를 통해 다른 지점 B에 도달하며, B는 A의 교란에 대한 무한히 많은 지연된 버전을 받는다.^[5]

# 이러한 지연된 교란 버전들은 특정 허용 오차 내에서 동기화되면 B에서 서로 강화될 것이다.

그러면 A에서 B까지의 다양한 전파 경로는 전파 시간이 상기 허용 오차 내에서 일치하면 서로 도움을 주거나, 보강 간섭을 일으킨다. 작은 허용 오차(극한의 경우)에서 경로 변화의 허용 범위는 경로의 전파 시간이 변화에 대해 정지 상태일 때 최대화된다. 즉, 경로의 변화가 전파 시간에 최대 2차 변화만을 일으킨다.

전파 시간의 정지 상태에 대한 가장 명확한 예는 (국소적 또는 전역적) 최솟값, 즉 페르마의 원리의 "강한" 형태에서와 같이 최소 시간 경로이다. 그러나 이 조건은 논리에 필수적이지 않다.

정지 전파 시간 경로가 인접 경로의 최대 폭의 통로에 의해 강화된다는 것을 밝혔으므로, 이 강화가 직관적인 광선 개념과 어떻게 일치하는지 설명해야 한다. 그러나 설명의 간결성을 위해, 먼저 광선 경로를 정지 전파 시간 경로로 정의한다.

3. 2. 광선: 신호 경로와 에너지 경로

만약 A에서 B로 향하는 광선 경로를 강화하는 경로들의 통로가 상당히 막히면, A에서 B로 도달하는 교란에 상당한 변화를 가져올 것이다. 이는 이러한 통로의 ''외부''에 있는 비슷한 크기의 장애물과는 다르다. 외부 장애물은 서로 강화하지 않는 경로를 차단한다. 전자의 장애물은 A에서 B로 도달하는 신호를 상당히 방해하지만, 후자는 그렇지 않다. 따라서 광선 경로는 ''신호'' 경로를 나타낸다. 신호가 가시광선이라면, 전자의 장애물은 B에 있는 관찰자가 보는 A에 있는 물체의 모양에 상당한 영향을 미치지만, 후자는 그렇지 않다. 따라서 광선 경로는 ''시선''을 나타낸다.^[7]

'''그림 3''': 좁은 광선속으로 근사하거나 포함된 ''광선''의 굴절(및 부분 반사)을 보여주는 실험

만약 A에서 B까지의 광선 경로를 강화하는 경로의 통로가 상당히 막히면, A에서 B에 도달하는 ''에너지''에 상당한 영향을 미친다.^[8] 이는 그러한 통로 외부의 비슷한 크기의 장애물과는 다르다. 따라서 광선 경로는 ''에너지'' 경로를 나타낸다. 광선속도 마찬가지이다.

A점에서 팽창하는 파면이 A점에서 B점까지의 광선 경로 상에 있는 P점을 통과한다고 가정하자. 정의에 따르면, 파면상의 모든 점은 A로부터 동일한 전파 시간을 갖는다. 이제 P를 중심으로 하고 A에서 B까지의 광선 경로를 강화하는 경로의 통로 내에 충분히 작은 창을 제외하고 파면을 차단하자. 그러면 파면의 막히지 않은 부분의 모든 점은 B까지 거의 같은 전파 시간을 갖지만, 다른 방향의 점까지는 ''아니다''. 따라서 B는 창을 통해 들어온 광선속의 최대 강도 방향에 있을 것이다.^[9] 따라서 광선 경로는 광선속을 나타낸다. 그리고 광학 실험에서 광선속은 일상적으로 광선의 집합으로 간주되거나(좁다면) 광선에 대한 근사치로 간주된다(그림 3).^[10]

3. 3. 유추

다음과 같이 가정할 수 있다.

# 교란은 전파 매질(진공 또는 어떤 물질, 균질하거나 등방성일 필요는 없음)을 통해 순차적으로 전파되며, 원격 작용은 없다.

# 전파 과정에서 중간 지점 P에서 주변 지점에 미치는 교란의 영향은 0이 아닌 각도로 퍼진다(마치 P가 광원인 것처럼). 따라서 어떤 지점 A에서 시작된 교란은 무한히 많은 경로를 통해 다른 지점 B에 도달하며, B는 A의 교란에 대한 무한히 많은 지연된 버전을 받는다.^[5]

# 이러한 지연된 교란 버전들은 특정 허용 오차 내에서 동기화되면 B에서 서로 강화될 것이다.

그러면 A에서 B까지의 다양한 전파 경로는 전파 시간이 상기 허용 오차 내에서 일치하면 서로 도움을 주거나, 보강 간섭을 일으킨다. 작은 허용 오차(극한의 경우)에서 경로 변화의 허용 범위는 경로의 전파 시간이 변화에 대해 정지 상태일 때 최대화된다. 즉, 경로의 변화가 전파 시간에 최대 2차 변화만을 일으킨다.

페르마의 원리의 "강한" 형태에 따르면, 더 빠른 속도로 전파되는 매질의 점 A에서 더 느린 속도로 전파되는 매질의 점 B로 빛이 이동하는 경로는 구조대원이 수영보다 빨리 달릴 수 있다는 조건 하에, 가능한 한 빨리 익사하는 수영 선수에게 도달하기 위해 어디서 물에 들어갈지 결정해야 하는 문제와 유사하다. 그러나 이러한 비유는 빛의 행동을 ''설명하는'' 데에는 부족하다. 왜냐하면 구조대원은 문제에 대해 생각할 수 있지만, 빛은 그럴 수 없다고 추정되기 때문이다.

반대로, 위의 가정들은 어떤 파동과도 성립하며, 어떠한 지식이나 목적도 개입시키지 않고 순전히 기계론적으로 페르마의 원리를 설명한다.

이 원리는 일반적인 파동에 적용되며, 예를 들어 유체 내의 음파와 고체 내의 탄성파를 포함한다.^[11] 수정된 형태로는 물질파에도 적용된다. 양자역학에서 입자의 고전적인 경로는 관련된 파동에 페르마의 원리를 적용하여 얻을 수 있다. 다만, 진동수가 경로에 따라 달라질 수 있기 때문에, 정상성은 위상 변화(또는 사이클 수)에 있으며 반드시 시간에 있는 것은 아니다.

3. 4. 휘호헌스 원리와의 동등성

'''그림 4''': 휘호헌스의 구성 두 번 반복. 첫 번째 반복에서, 나중 파면 는 이전 파면 의 모든 점(예: )에서 주어진 시간 동안 팽창하는 모든 2차 파면(회색 호)의 포락선을 취하여 얻어진다. 화살표는 광선 방향을 나타낸다.

이동하는 파동이 통과하는 모든 점이 2차 파동의 근원이 된다는 휘호헌스의 ''원리''와는 달리, 여기서 설명하는 휘호헌스의 ''구성''은 다음과 같다.

시간 에서의 파면 와 나중 시간 에서의 동일한 파면 이 주어졌을 때 (그림 4), 위의 일반적인 점 에 대해 휘호헌스의 구성은 다음과 같다.^[12]

는 의 앞쪽에 있는 모든 2차 파면의 ''포락선''(공통 접선 표면)이며, 각각은 의 점에서 시간 동안 팽창한다.
시간 동안 점 에서 팽창하는 2차 파면이 점 에서 표면 에 닿으면, ''와 는 광선 위에 놓인다''.

이 구성을 반복하여 주 파면의 연속적인 위치와 광선의 연속적인 점을 찾을 수 있다.

이 구성에 의해 주어지는 광선 방향은 2차 파면의 방사 방향이며,^[13] 2차 파면의 법선(비교: 그림 2)과 따라서 접점에서 주 파면의 법선과 다를 수 있다. 따라서 광선의 ''속도''는 크기와 방향 모두에서 무한소 2차 파면의 방사 속도이며, 일반적으로 위치와 방향의 함수이다.^[14]

를 에 가까운 의 점, 를 에 가까운 의 점이라고 할 때, 휘호헌스의 구성에 따르면 다음이 성립한다.

에서 에 도달하는 데 걸리는 2차 파면의 시간은 변위 에 대한 2차 의존성을 최대값으로 가진다.
에서 에 도달하는 데 걸리는 2차 파면의 시간은 변위 에 대한 2차 의존성을 최대값으로 가진다.

이에 따라 광선 경로는 에서 까지의 정지 통과 시간의 경로이며,^[15] 의 점에서 까지의 정지 통과 시간의 경로이다.^[16]

결론적으로, 휘호헌스의 구성은 광선 경로를 ''파면의 연속적인 위치 사이의 정지 통과 시간의 경로''로 정의하며, 시간은 이전 파면의 ''점 광원''에서 계산된다.^[17] 이 결론은 매질의 특성에 대한 불연속성 표면에 의해 2차 파면이 반사되거나 굴절되는 경우에도 유효하며, 비교가 영향을 받는 경로와 파면의 영향을 받는 부분으로 제한되는 경우에 한한다.^[18]

페르마의 원리는 일반적으로 파면 대 파면이 아닌 ''점 대 점'' 용어로 표현된다. 예를 들어, 시간 에 점 에서 방출된 파면이 시간 에 표면 가 되고 나중 시간 에 표면 이 된다고 가정하자. 를 의 점, 를 의 점이라고 하고, , , , 가 주어졌을 때, 문제는 를 찾는 것이다.

가 휘호헌스의 구성을 만족시켜 의 2차 파면이 에서 에 접하면, 는 에서 까지의 정지 통과 시간의 경로이다. 에서 까지의 고정 시간을 더하면, 는 에서 까지의 정지 통과 시간의 경로임을 알 수 있다(제한된 비교 영역이 있는 경우도 있음). 이는 페르마의 원리에 따른 것이다. 가 에서 잘 정의된 접평면을 갖는 경우에는 역방향으로도 동일하게 작동한다. 따라서 휘호헌스의 구성과 페르마의 원리는 기하학적으로 동등하다.^[19]^[20]

이러한 동등성을 통해 페르마의 원리는 휘헌스의 구성과 휘헌스가 그 구성에서 도출할 수 있었던 모든 결론을 뒷받침한다. 간단히 말해, "기하 광학의 법칙은 페르마의 원리에서 도출될 수 있다".^[21]

4. 현대적 형태

x^영어, y^영어, z^영어를 데카르트 좌표로 하고, 점 기호가 s^영어에 대한 미분을 나타내는 경우, 페르마의 원리는 다음과 같이 쓸 수 있다.^[77]

: $\delta S =\,\delta\int_A^B\!n_{\mathrm{r}}\,\sqrt{dx^2+dy^2+dz^2} =\,\delta\int_A^B\!n_{\mathrm{r}}\,\sqrt{\dot{x}^2+\dot{y}^2+\dot{z}^2}~ds \,=\,0\,.$

등방성 매질에서, $n_r$ 은 법선 굴절률 n으로 대체될 수 있으며, 이는 단순한 스칼라장이다. 광학적 라그랑주 L은 다음과 같이 정의된다.

: $L\big(x(z),y(z),\dot{x}(z),\dot{y}(z),z\big) = n(x,y,z)\,\sqrt{1+\dot{x}^2+\dot{y}^2}\,.$

따라서,

: $\delta S =\, \delta\int_A^B\!L(x,y,z,\dot{x},\dot{y},\dot{z})\,ds\,=\,0\,.$

4. 1. 굴절률을 이용한 표현

A점에서 B점까지 이어지는 경로에서, 주어진 경로를 국소 광선 속도로 통과하는 데 걸리는 시간과 같은 시간 동안 균질 등방성 기준 매질(예: 진공)에서 광선이 이동한 거리를 광학적 길이라고 정의한다.^[25] 기준 매질에서의 전파 속도를 c (예: 진공에서의 빛의 속도)라고 하면, 시간 dt 동안 통과된 경로의 광학적 길이는

dS

이고, 시간 T 동안 통과된 경로의 광학적 길이는

S

이다.

광선 지수

\,n_{\mathrm{r}}=c/v_{\mathrm{r}}\,

는 일반적인 (파면 법선 속도) 대신 ''광선'' 속도를 기준으로 계산된 굴절률이다.^[26] 미소 경로에 대해서는

dS=n_{\mathrm{r}\,}ds\,,\,

가 되는데, 이는 광학적 길이가 광선 지수를 곱한 물리적 길이임을 나타낸다. 광학적 길이는 시간 요소가 제거된 개념적인 ''기하학적'' 양이다. 광학적 경로 길이(OPL) 관점에서 페르마의 원리는 다음과 같이 표현된다.

\delta S = \delta\int_A^B\!n_{\mathrm{r}}

이는 고전역학에서의 모퍼튀의 원리(단일 입자에 대한)와 유사한 형태를 가지며, 광학에서의 광선 지수가 역학에서의 운동량 또는 속도의 역할을 한다.^[27]

4. 2. 해밀턴의 원리와의 관계

x^영어, y^영어, z^영어가 데카르트 좌표이고, 점이 s^영어에 대한 미분을 나타낸다고 하면, 페르마의 원리는 다음과 같이 쓸 수 있다.^[30]^[77]

:\,\sqrt{dx^2+dy^2+dz^2}\\

&=\,\delta\int_A^B\!n_{\mathrm{r}}\,\sqrt{\dot{x}^2+\dot{y}^2+\dot{z}^2}~ds

\,=\,0\,.

\end{align}}}

등방성 매질의 경우, 을 일반 굴절률 로 대체할 수 있는데, 이것은 단순한 스칼라장이다. 그런 다음 광학적 라그랑주량^[31]을 다음과 같이 정의하면,

:

페르마의 원리는^[32] 다음과 같이 된다.

:

전파 방향이 항상 경로의 매개변수로 s^영어 대신 z^영어를 사용할 수 있도록(그리고 s^영어 대신 z^영어에 대한 미분을 나타내는 점) 되어 있다면, 광학적 라그랑주량은^[33] 다음과 같이 쓸 수 있다.

:

따라서 페르마의 원리는 다음과 같이 된다.

:

이는 고전 역학에서의 해밀턴의 원리의 형태와 유사하지만, 시간 차원이 없다는 점이 다르다. 광학에서의 세 번째 공간 좌표는 역학에서 시간의 역할을 한다.^[34] 광학적 라그랑주량은 경로의 매개변수에 대해 적분했을 때 OPL(광경로장)을 생성하는 함수이며, 라그랑주 및 해밀턴 광학의 기초가 된다.^[35]

5. 특수한 경우

페르마의 원리에서 특수한 경우는 다음과 같다.

등방성 매질: 빛의 전파 속도가 방향에 관계없이 일정하다.^[14]
균질 매질: 빛이 직진한다.^[24]

5. 1. 등방성 매질

등방성 매질에서는 빛의 전파 속도가 방향에 관계없이 일정하다.^[14] 따라서, 아주 짧은 시간 동안 빛이 퍼져나갈 때, 각 점에서 시작하는 2차 파면은 구 모양을 띤다. 이 구의 반지름은 공통 접선 면에 수직인데, 이 반지름은 광선의 방향을 나타내고, 공통 접선 면은 일반적인 파면이 된다. 결국 광선은 파면에 수직(직교)이다.^[22]

광학 교육에서는 등방성 매질을 주로 다루고, 이방성 매질은 선택적으로 다루는 경우가 많다. 이 때문에 광선이 파면에 수직이라는 가정이 널리 퍼져있고, 심지어 페르마의 원리조차도 이 가정 하에 설명되기도 한다. 하지만 실제로는 페르마의 원리가 더 일반적인 경우에도 적용된다.^[23]

5. 2. 균질 매질

균질 매질(균일 매질이라고도 함)에서는 주어진 시간 동안 팽창하는 모든 2차 파면이 합동이며 방향이 같다. 따라서 그 포락선은 방향을 유지하면서 광원이 기본 파면 위를 움직이는 단일 2차 파면의 포락선으로 생각할 수 있다. 이 2차 파면의 중심을 P, 포락선과의 접점을 P′라고 하면, P′는 P와 평행하게 움직이므로 P′에서 포락선에 접하는 평면은 P에서 기본 파면에 접하는 평면과 평행하다. P와 함께 움직이는 또 다른 2차 파면을 P′에 중심을 두고, 그 포락선에서 점 P″를 만나게 하면, 같은 이유로 P″에서 포락선에 접하는 평면은 다른 두 평면과 평행하다. 따라서 광선 방향 PP′와 P′P″는 같다. 이 구성을 반복하면 임의의 길이의 직선 광선을 얻을 수 있다. 즉, 균질 매질에서는 빛이 직진한다.^[24]

참조

_[1] 논문 Young, 1809
_[2] 논문 Born & Wolf, 2002
_[3] 논문 De Witte, 1959
_[4] 논문 De Witte, 1959
_[5] 문서 Assumption (2) almost follows from (1)
_[6] 논문 Born & Wolf, 2002
_[7] 논문 Huygens, 1690, tr. Thompson; Newton, 1730
_[8] 문서 More precisely, the energy flux density.
_[9] 논문 Fresnel, 1827, tr. Hobson
_[10] 논문 Newton, 1730; Huygens, 1690, tr. Thompson
_[11] 논문 De Witte, 1959
_[12] 논문 Huygens, 1690, tr. Thompson
_[13] 논문 Fresnel, 1827, tr. Hobson
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_[18] 논문 Fresnel, 1827, tr. Hobson
_[19] 논문 De Witte, 1959
_[20] 문서 In Huygens' construction, the choice of the envelope of secondary wavefronts on the forward side of W
_[21] 논문 Born & Wolf, 2002
_[22] 논문 De Witte, 1959
_[23] 논문 Born & Wolf, 2002
_[24] 논문 De Witte, 1959
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_[27] 논문 Chaves, 2016
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_[77] 문서 Chaves, 2016

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